Persamaan Diferensial Koefisien Linier

Assalamu alaikum warahmatullahi wabarakatu
ok langsung saja
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum y_h x dari Persamaan Diferensial Homogen diketahui, dimana Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :

Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan y_h x sembarang solusi y termasuk konstanta tak tetapnya. Sehingga,

Theorema 1:
f(x), g(x)dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada interval l. y(x) merupakan solusi dari Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk oleh 2 konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) y_h (x). Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi ỹ(x), yaitu sembarang solusi Persamaan Diferensial pada interval l.

Theorema 2:
Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan homogeny y_h (x) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) y_p (x).
Sehingga,

Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.

terdapat 3 metode


1. Metode Koefisien tak tentu Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi y_p (solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi r(x) di ruas kanan. Bentuk persamaan umum:

-Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi pertikular y_p (x) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberpa fungsi,
-r(x) berisikan koefisien tak tentu
-Turunkan y_p sesuai persamaan umum di atas
-Subtitusikan y_p dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Tabel metode koefisien tak tentu 

Aturan:
-Bila r(x) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk y_p yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan r(x) harus bebas linier pula.
-Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka pilihy_p yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai.
-Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikut

Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x^2 tergantung dari apakah pada kolom 3 berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.

Contoh Soal
1. y'' - 4y' + 3y  =  10^-2x
2. y'' - 4y = 8x²
3. y'' - y' -2y = 10cosx
4. y'' - 3y' + 2y = 4x + e^3x

dan ini adalah jawabannya
1. y'' - 4y' + 3y  =  10^-2x

2. y'' - 4y = 8x²

3.  y'' - y' -2y = 10cosx

4. y'' - 3y' + 2y = 4x + e^3x